1. 논문 요약 (Peastrel et al., 1980)
실험: 셔틀콕 수직 낙하 촬영, 속도-시간 데이터 수집
모델 비교:
- 무저항: $\frac{dv}{dt} = g$
- 선형 저항: $\frac{dv}{dt} = g - c_1 v$
- 제곱 저항: $\frac{dv}{dt} = g - c_2 v^2$ ← 가장 적합
결론: 셔틀콕은 속도 제곱에 비례하는 저항을 받음. 종단속도 $v_T = \sqrt{g/c_2} \approx 6.8$ m/s
본 수업에서는 이 1D 모델을 2D 투사체 운동으로 확장합니다.
2. Model A: 이상적 포물선 (공기저항 무시)
가정
- 공기저항 무시 ($\vec{F} = m\vec{g}$)
- 중력은 일정, 아래 방향
- 초기 속도 $\vec{v}_0 = (v_0 \cos\theta, v_0 \sin\theta)$
운동 방정식
$$ a_x = 0, \quad a_y = -g $$
$$ x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t $$
$$ y(t) = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 $$
궤적 (t 소거):
$$ y(x) = x \tan\theta - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\theta} x^2 $$
→ $x$에 대한 이차함수 (포물선)
3. Model B: 2D 항력 모델 (셔틀콕)
가정
- 항력은 속도 반대 방향
- 크기는 속력 제곱에 비례: $|\vec{F}_d| = k m v^2$
벡터 형태 운동 방정식
$$ \vec{F} = m\vec{g} - k m |\vec{v}| \vec{v} $$
→ 가속도: $\vec{a} = \vec{g} - k |\vec{v}| \vec{v}$
성분별 분해
수평:
$$ a_x = -k \cdot v \cdot v_x $$
수직:
$$ a_y = -g - k \cdot v \cdot v_y $$
여기서 $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ (속력)
4. 수치 해법: 4차 Runge–Kutta 방법
항력 모델의 미분방정식은 해석적으로 풀기 어려우므로, 시뮬레이션에서는 4차 Runge–Kutta 방법(RK4)으로 근사합니다. 한 구간에서 기울기를 네 번 계산해 단순 오일러 방법보다 시간 간격에 따른 오차를 줄입니다.
알고리즘
state = (x, y, vx, vy)
f(state) = (vx, vy, -k·v·vx, -g-k·v·vy)
s1 = f(state)
s2 = f(state + s1·dt/2)
s3 = f(state + s2·dt/2)
s4 = f(state + s3·dt)
state = state + dt·(s1+2s2+2s3+s4)/6
시간 간격: dt가 작으면 오차는 줄고 계산량은 늘어납니다. 이 시뮬레이션은 0.005초를 사용합니다.
5. 수업 흐름 (6차시 권장)
| 차시 | 활동 |
|---|---|
| 1 | 논문 읽기 & 연구 질문 설계 |
| 2 | 공 2D 궤적 실험 (기준 포물선) |
| 3 | 셔틀콕 2D 궤적 실험 (항력 관찰) |
| 4 | 시뮬레이션 구현 (오일러 방법) |
| 5 | 데이터 피팅 & k 추정 |
| 6 | 심화 탐구 발표 |
6. 심화 탐구 주제
최적 발사 각도
항력이 있을 때 사거리 최대화 각도는?
바람 효과
$\vec{v} \to \vec{v} - \vec{w}$ 수정
무차원화
$v/v_T$ 스케일링으로 일반화
궤적 비대칭
상승-하강 경로 차이 분석